Problem:

En person sätter i början av varje månad in 100 euro på banken. Hur stor avkastning (ränta) fordras för att beloppet på kontot efter 10 års sparande skall uppgå till 100000 euro? Antag att banken i slutet av varje månad lägger till räntan till kapitalet.


Detta är en uppgift jag totalt fastnade på i en tent och vill få ut det, envis som jag är :)
Men jag kommer inte speciellt långt, dock detta:

Månad 1: 100
Månad 2: 100 + 100x
Månad 3: 100 + 100x^2 + 100x
Månad n: 100(1 + x + x^2 + ... + x^n)

S = (1 - x^n) / (1 - x) ; x = räntan, n = 10 * 12 - 1 = 119 (?)

Formeln borde bli:
100((1 - x^119) / (1 - x)) = 100000

Det jag vill få fram är x. Jag får efter detta inte efter måååånga timmars försök fram vad x ska vara. Problemet är att jag inte får x ensamt på en sida.

Kan någon vara vänlig och försöka visa hur detta fungerar? Eller påpeka om det finns något fel i mina funderingar. S står för summan av det inom parantesen efter 100 i "Månad n" ovan.

Efter N månader är beloppet 100(1+r)^N vilket ger formeln

100(1+r)^120 = 100000

dvs r = e^((ln1000)/120) - 1 = 5,92%

(observera att resultatet är månadsräntan. Har för mig att banker bara delar årsräntan med 12 för varje månad så årsräntan blir 71%)

Martin, bra försök men personen i fråga sätter in 100 euro i månaden och har då på 10 år själv satt in 100 * 10 * 12 = 12000 euro. Men under den tiden måste räntan ha gjort att varje månad har den sparade summan stigit. Det blir då en serie, eftersom man sätter in först 100 euro, och månaden därpå har man 100x + 100, eller 100(1 + x) + 100 (beroende i vilken form man vill ha x).

Förlåt. Missade att man skall sätta in pengar varje månad också.

Det finns ingen algebraisk lösning på den generella gemometriska serien. Du måste använda någon numerisk metod.

I Excel kan du använda XIRR

Men om det inte finns någon algebraisk lösning, varför frågas det en sådan fråga på en tentamen som bland annat behandlar talföljder och talserier? ;)

<b>Detta är en uppgift jag totalt fastnade på i en tent och vill få ut det, envis som jag är :)
Men jag kommer inte speciellt långt, dock detta:

Månad 1: 100
Månad 2: 100 + 100x
Månad 3: 100 + 100x^2 + 100x
Månad n: 100(1 + x + x^2 + ... + x^n)</b>

Har du inte glömt att lägga till de nya insättningarna?

I början av månad 1 (precis efter första insättningen) finns på kontot 100 kr.
I början av månad 2 finns 100 kr (gamla) + 100x kr (ränta) + 100 kr (nya) = 100(2+x) kr = 100((1+x)^2-1)/x kr.
I början av månad 3 finns 100(2+x) kr (gamla) + 100(2+x)x kr (ränta) + 100 kr (nya) = 100(1+(1+x)(2+x)) kr = 100(3+3x+x^2) kr = 100((1+x)^3-1)/x kr.
...
I början av månad n finns 100((1+x)^n-1)/x kr.

Ekvationen blir
100((1+x)^n-1)/x = 100000 [n=119 eller 120 (spelar ingen större roll)]

((1+x)^n-1)/x = 1000
(1+x)^n-1 = 1000x
(1+x)^n = 1 + 1000x

Kanske inte precis enklare att lösa, dock...

Nej då, jag har nog inte glömt bort att sätta in det "gamla" med det nya.
Det görs genom:

Månad 0: 100
Månad 1: 100 + 100 * (1+x) (1+x kan också skrivas som enbart x, där x > 1)
Månad 2: 100 + 100 * (1+x) + 100 * (1+x)^2
Månad 120: 100 + 100 * (1+x) + 100 * (1+x)^2 + ... 100 * (1+x)^120

Alla potenser är 100 + räntan för antalet månader som potensen anger.
Talföljden blir då: 100 * (1 + (1+x) + (1+x)^2 + ... (1+x)^120)

Summan av denna talföljd blir: 100 * ((1-(1+x)^120)/(1-(1+x)))

100 * ((1-(1+x)^120)/(1-(1+x))) = 100000
(1-(1+x)^120)/(1-(1+x)) = 1000
(1-(1+x)^120)/(-x)) = 1000
1-(1+x)^120 = -1000x
(1+x)^120 = 1000x + 1

Det är så långt jag kan räkna det... Måste ju bli något fel någonstans för det ska gå att lösa. Inte sätter man ju omöjliga uppgifter i en tentamen...

Du kanske kan kolla om det finns nåt facit till tentauppgiften? ;)

Tyvärr finns det inte, eftersom denna tent var för ett par månader sedan.
Ska det verkligen vara så svårt att lösa?

Inte riktigt svar på frågan kanske, men har gjort följande uträkning i excel.
Om jag fattat det hela rätt så bör det bli 37,2 procent.
http://norrtalje.web.surftown.se/ranta.xls

Jag får det till 39,8%

Så här gjorde jag:
Cell A1-A121: 2007-01-01,2007-02-01,...2017-01-01
Cell B1-B120: 100
Cell B121: -100000
Cell B122: =XIRR(B1:B121;A1:A121;0,1)

Vad jag vill minnas sa läraren att det blev under 10%, om man ser till årsräntan.
Månadsräntan blir, efter lite testande på min miniräknare, under 2%. Tänk på att man först har 100, sedan 100 + 100 * (1 + räntan/100), alltså över 200.
Nästa blir 100 + 100 * (1 + räntan/100) + 100 * (1 + räntan/100)^2.

1-x^n kan väl skrivas om till (1+x)(...), om jag inte minns fel?
Hade man fåt (1-x)(...) istället så hade det ju varit en baggis att lösa...

Ja, på något sätt ska man väl kunna faktorisera det hela, men det jag har testat har inte lyckats. Det blir liksom rätt mycket att hålla reda på när n = 120 ;)

>Vad jag vill minnas sa läraren att det blev under 10%, om man ser till årsräntan.

Antag att du sätter in alltihop (120x100=12000) första dagen. Med 10% årsränta utbetald månadsvis skulle du då ha 12000*(1+0,1/12)^120=32484 efter 10 år.

>Månadsräntan blir, efter lite testande på min miniräknare, under 2%

Hur testade du då? Om man sätter in allt i början blir det 12000*1,02^120=120000 vilket inte gör det särskilt troliga att du får ihop 100000 när du sprider ut inbetalningarna.

Sorry, skrev fel... Räntan blir just under 3%, alltså månadsräntan.
Jag testade så enkelt som att på miniräknaren först sätta 100 till Ans.
Därefter körde jag

100 [EXE]
Ans * 1.03 + 100 ([EXE] * 120)

för att simulera 120 månaders ränta med insättning 100 per månad. Jag vet att när man tagit 120 gånger måste man ta bort 100 för att inte sätta in 100 på banken den månad man sparat i 10 år.

Självklart kan man snabbt slänga ihop ett program som genom binär sökning tar fram den exakta räntan, men sånt får man ju inte göra på tenten ;)