Denna uppg ska gå att lösa genom ensidig laplacetransform, Den begränsade lösningen alltså..

kd^2u/dx^2 = du/dt, x > 0, t > 0
u(0,t) = 0
u(x,0) = 2e^(-x)

men jag får ej till det, någon som snabbt o lätt kan visa steg för steg..

Jag antar det egentligen bara är att transformera i t-led;
sU - f(x,0) = kd^2 U/dx^2
f(x,0) = 2e^(-x)

Diffen blir då,
d^2 U/dx^2 - s/k U = - 2/k e^(-x)

Den homogena lösningen borde då bli;
U(x,s) = A(s)e^( sqrt(s/k) x) + B(s)e^(- sqrt(s/k) x)

Sen borde man väll ansätta U(x,s) = Ae^(-x)
sätter man in det i diffen blir det;

Ae^(-x) - s/kA^(-x) = -2/ke^(-x)
e^(-x) ( A(1-s/k) ) = -2/ke^(-x)
A(1-s/k) = -2/k
A = (-2/k)/(1-s/k)

homogena lösningen + partikulärlösningen blir då;
U(x,s) = A(s)e^( sqrt(s/k) x) + B(s)e^(- sqrt(s/k) x) + (-2/k)/(1-s/k)e^(-x)

Sedan ska U(0,s) = 0, A(s) + B(s) + (-2/k)/(1-s/k) = 0
A(s) är blir noll antar jag när x -> oo,
Då måste B(s) vara -(-2/k)/(1-s/k)..

Varav lösningen blir;
U(x,s) = (-2/k)/(1-s/k) ( e^(- sqrt(s/k) x) + e^(-x) )

OM?! det ens är rätt vet jag inte? Stämmer det, eller vad gör jag för fel? OM det är rätt, hur får jag det till en "vanlig" funktion u(x,t) igen?

överkurs uppg här på ps ^^. jag stänger den.. men för lösa den är det nog enklare att använda spegling och sen L eller möjligtvis F (laplace- el. fouriertransform)